评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别结果，其中第一次识别结果存在多处错误，第二次识别结果基本正确但仍有部分错误。具体分析如下：

• 第一步：求一阶偏导数。学生正确计算了 \( f_x' = e^{\cos y} + x \) 和 \( f_y' = -x \sin y e^{\cos y} \)，并令其为零求解驻点。在第二次识别中，学生正确分析了 \( f_y' = 0 \) 时 \( x = 0 \) 或 \( \sin y = 0 \)，并排除了 \( x = 0 \) 的情况，但仅考虑了 \( y = 0 \) 的情况，忽略了 \( y = k\pi \)（\( k \) 为整数）的所有解，导致驻点求解不完整。标准答案中驻点为 \( (-e^{(-1)^k}, k\pi) \)（\( k \) 为整数），学生仅得到 \( (-1, 0) \)（对应 \( k \) 为偶数的情况），漏掉了奇数 \( k \) 对应的驻点。此处逻辑错误，扣2分。
• 第二步：求二阶偏导数。学生正确计算了 \( f_{xx}'' = 1 \)、\( f_{xy}'' = -\sin y e^{\cos y} \)，但 \( f_{yy}'' \) 的计算有误。学生给出 \( f_{yy}'' = x e^{\cos y} \sin^2 y - x e^{\cos y} \cos y \)，而标准答案为 \( f_{yy}'' = -x (\cos y - \sin^2 y) e^{\cos y} \)。尽管两者在代数上等价（通过展开可验证），但学生形式不标准，但未影响后续计算，不扣分。
• 第三步：在驻点处计算二阶偏导数值。学生仅在 \( (-1, 0) \) 处计算，得到 \( A = 1 \)、\( B = 0 \)、\( C = e \)。计算正确，但未考虑其他驻点，扣1分（因驻点不全导致后续分析不完整）。
• 第四步：极值判别和计算。学生在 \( (-1, 0) \) 处使用判别式 \( AC - B^2 = e > 0 \) 且 \( A > 0 \)，正确判断为极小值点。但极值计算有误：学生给出极小值为 \( e - 1 \)（第二次识别纠正了第一次的 \( \frac{1}{2} - e \)），而标准答案为 \( -\fra...