评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答存在多处严重逻辑错误：

• 旋转体体积公式应用错误：正确应为 \(V(t) = \pi \int_t^{2t} [y(x)]^2 dx = \pi \int_t^{2t} x e^{-2x} dx\)，但学生两次识别结果分别错误写成 \(\pi \int_t^{2t} x e^{-x^2} dx\) 和 \(\pi \int_t^{2t} x e^{-x} dx\)。
• 积分计算错误：对错误被积函数进行积分时，方法混乱（如错误使用凑微分法），导致得到错误的 \(V(t)\) 表达式。
• 导数计算错误：基于错误的 \(V(t)\) 表达式求导，导数表达式完全错误。
• 极值点求解错误：通过错误的导数表达式求解极值点，得到错误的临界点 \(t = \sqrt{\frac{2\ln^2}{3}}\) 和 \(t = \frac{\sqrt{\ln 2}}{\sqrt{3}}\)。
• 最大值计算错误：代入错误的临界点到错误的 \(V(t)\) 表达式中，得到错误的最大值。

虽然学生展示了完整的解题思路（建立体积公式、求导、求极值点、计算最大值），但由于核心逻辑从第一步开始就完全错误，后续推导均建立在错误基础上，因此只能给予基础分。考虑到题目满分12分，且学生展示了完整的解题过程，给予2分。

题目总分：2分