评分及理由

（15）得分及理由（满分5分）

本题是填空题第15题，考查平均速度的计算。根据题意，物体速度函数为 \(v(t) = t + k \sin \pi t\)，从 \(t = 0\) 到 \(t = 3\) 的平均速度为 \(\frac{5}{2}\)。

平均速度的计算公式为：\(\frac{1}{3-0} \int_0^3 (t + k \sin \pi t) dt = \frac{5}{2}\)。

计算积分：\(\int_0^3 t dt = \frac{1}{2} t^2 \big|_0^3 = \frac{9}{2}\)，\(\int_0^3 \sin \pi t dt = -\frac{1}{\pi} \cos \pi t \big|_0^3 = -\frac{1}{\pi} (\cos 3\pi - \cos 0) = -\frac{1}{\pi} ((-1) - 1) = \frac{2}{\pi}\)。

代入方程：\(\frac{1}{3} \left( \frac{9}{2} + k \cdot \frac{2}{\pi} \right) = \frac{5}{2}\)。

解得：\(\frac{9}{2} + \frac{2k}{\pi} = \frac{15}{2}\)，即 \(\frac{2k}{\pi} = 3\)，所以 \(k = \frac{3\pi}{2}\)。

学生两次识别结果中，第1次识别结果为 \(\frac{3\pi}{2}\)，与标准答案完全一致；第2次识别结果也为 \(\frac{3\pi}{2}\)。因此答案正确，得5分。

题目总分：5分