评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中第1次识别结果给出了正确的变换过程，将原方程化简为常系数线性微分方程，并正确求解得到通解形式 \( y = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-3t} \)，代入初始条件后得到 \( y = 2x^3 \)。虽然第2次识别结果中的微分方程系数与原题不符（原题为 \( x^2 y'' + x y' - 9y = 0 \)，而识别为 \( x^2 y'' + 4xy' + 2y = 0 \)），但根据第1次识别结果，学生正确完成了变换、求解和代入初始条件的步骤，且最终结果正确。因此，本小题得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中第1次识别结果正确代入 \( y = 2x^3 \) 后，将积分化为 \( \int_1^2 2x^3 \sqrt{4 - x^2} \, dx \)，并进行了变量替换 \( t = \sqrt{4 - x^2} \)，但替换过程中出现了错误：积分表达式写为 \( \int_1^2 x^2 \sqrt{4 - x^2} \, d(x^2) \) 后，替换 \( t = \sqrt{4 - x^2} \) 时，未正确处理微分关系，导致后续计算错误。尽管最终数值结果 \( \frac{22\sqrt{3}}{5} \) 正确，但中间步骤存在逻辑错误。第2次识别结果中，由于微分方程解错误，导致积分表达式错误，进一步计算无效。因此，本小题扣2分，得4分。

题目总分：6+4=10分