评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答存在多处逻辑错误：

• 第一次识别中，旋转体体积公式应用错误：应为 \(V(t) = \pi \int_{t}^{2t} y^2 dx = \pi \int_{t}^{2t} x e^{-2x} dx\)，但学生写成了 \(x e^{-x^2} dx\) 或 \(x e^{-x} dx\)，导致后续积分计算完全错误。
• 积分计算过程混乱，例如第一次识别中错误使用凑微分 \(d(x^2)\)，第二次识别中分部积分过程出现重复项和符号错误。
• 求导过程错误：对 \(e^{-t}\) 和 \(e^{-4t}\) 求导时未正确应用链式法则（应为 \(-\frac{\pi}{2}e^{-t}\) 和 \(2\pi e^{-4t}\)，但后续又错误引入 \(t\) 因子）。
• 极值点求解错误：正确极值点应为 \(t = \ln 2\)，但学生得到 \(t = \sqrt{\frac{2\pi m^2}{3}}\) 或 \(t = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，且推导过程无合理依据。
• 最大值计算基于错误表达式，结果 \(\frac{3\pi}{8\sqrt[3]{4}}\) 不正确。

尽管学生尝试了旋转体体积公式、积分计算、求导和极值分析，但核心步骤全部错误，因此只能给予基础思路分。考虑到题目满分12分，按严重错误扣除主要分数，给予2分。

题目总分：2分