评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生正确使用了变换 \( x = e^t \)，并计算了导数关系，但在代入原方程时出现错误：原方程为 \( x^2 y'' + x y' - 9y = 0 \)，学生误写为 \( x^2 y'' + x y' - 4y = 0 \)，导致特征方程错误（应为 \( r^2 - 9 = 0 \)，学生写为 \( y^2 - 9 = 0 \) 但解得 \( r_1 = 3, r_2 = -3 \) 正确）。通解形式正确为 \( y = C_1 x^3 + C_2 x^{-3} \)，代入初值条件后正确得到 \( y = 2x^3 \)。由于核心变换和求解过程正确，但方程误写导致中间步骤有误，扣1分。

第2次识别中，学生将原方程误写为 \( x^2 y'' + 4x y' - 4y = 0 \)，导致变换后方程和特征方程均错误，通解为 \( y = C_1 x + C_2 x^{-4} \)，与正确答案不符。但代入初值后得到 \( y = 2x \)，与第1次识别矛盾，且未正确求解原方程。因此第2次识别整体错误。

根据“两次识别中一次正确则不扣分”原则，以第1次识别为准，但方程误写属逻辑错误，扣1分。得分：5分。

（2）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生正确写出积分 \( \int_1^2 2x^3 \sqrt{4 - x^2} \, dx \)，并尝试代换。但代换过程混乱：先写 \( \int_1^2 x^2 \sqrt{4 - x^2} \, d(x^2) \)（误写为 \( y^2 \)），后令 \( t = \sqrt{4 - x^2} \)，但未正确执行代换（应得 \( x^2 = 4 - t^2 \), \( d(x^2) = -2t \, dt \)），后续计算步骤跳跃且结果 \( \frac{22\sqrt{3}}{5} \) 正确，但过程不严谨，存在逻辑错误，扣2分。

第2次识别中，学生误用 \( y = 2x \)（基于错误通解），积分计算为 \( \int_1^2 2x \sqrt{4 - x^2} \, dx \)，代换 \( u = 4 - x^2 \) 正确，但结果 \( 2\sqrt{3} \) 错误（正确应为 \( \frac{22\sqrt{3}}{5} \)）。...