评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生试图使用泰勒展开进行证明，但存在多处逻辑错误：

• 错误假设了f(0)=f(1)，题目中只给出f'(0)=f'(1)，这是关键错误
• 泰勒展开的余项形式不正确，应为f''(ξ)/2!·x²，但学生写成了f''(ξ)/2·x²(1-x)²等错误形式
• 推导过程中出现了"f'(0)(1-x)-f'(x)=f(0)(1-x)-f(x)"这样的错误等式
• 最终得到的不等式|x²|/2+|(x-1)²|/2 ≤ 1/2与要证明的结论不符

虽然思路方向正确（想用泰勒展开），但核心逻辑错误较多，只能给1分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生基于第(1)问的错误结果进行积分：

• 积分推导过程基本正确
• 但由于第(1)问的基础错误，导致本问的证明失去意义
• 积分计算∫₀¹ x(1-x)/2 dx = 1/12是正确的

考虑到积分过程本身正确，但基于错误的前提，给2分。

题目总分：1+2=3分