评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生正确求解了微分方程，得到通解形式 \( y = 1 + Cx^6 \)，并利用初始条件 \( y(\sqrt{3}) = 10 \) 正确求出 \( C = \frac{1}{3} \)，最终得到 \( y(x) = 1 + \frac{1}{3}x^6 \)。过程完整，与标准答案一致。但在计算 \( y(\sqrt{3}) \) 时，第一次识别中写为 \( 1 + c \cdot 3^3 = 10 \)，应为 \( 1 + c \cdot (\sqrt{3})^6 = 1 + c \cdot 27 = 10 \)，但最终结果正确，可能为识别误差或笔误，不影响核心逻辑。因此不扣分，得5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确设点 \( P(a, b) \)，计算法线斜率 \( -\frac{1}{y'(a)} = -\frac{1}{2a^5} \)，建立法线方程并求得y轴截距 \( y_0 = \frac{1}{2a^4} + 1 + \frac{a^6}{3} \)。定义函数 \( g(a) = y_0 \)，求导得 \( g'(a) = \frac{2a^{10} - 2}{a^5} \)，分析单调性并找到最小值点 \( a = 1 \)，计算 \( g(1) = \frac{11}{6} \) 和对应点 \( P(1, \frac{4}{3}) \)。过程完整，与标准答案一致。但在第一次识别中，导数表达式写为 \( g'(a) = \frac{2a^{10} - 2}{a^5} \)，标准答案为 \( 2 \cdot \frac{x^{10} - 1}{x^5} \)，两者等价，不扣分。因此得6分。

题目总分：5+6=11分