评分及理由

（1）得分及理由（满分14分）

学生作答整体思路正确：

• 正确识别了积分区域D由曲线 \((x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2\) 与x轴围成，且 \(x \geq 0, y \geq 0\)，并推导出 \(x \geq y\)，从而确定θ的范围为 \([0, \frac{\pi}{4}]\)。
• 正确应用极坐标变换 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，并将二重积分转化为极坐标下的累次积分。
• 积分表达式基本正确：第一次识别中积分上限写为 \(\sqrt{\cos^2\theta - \sin^2\theta}\)，第二次识别中相同，这实际上是 \(\sqrt{\cos 2\theta}\) 的等价形式（因为 \(\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta\)），因此不视为错误。
• 积分计算过程：从 \(r\) 积分得到 \(\frac{1}{4}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)^2 \cos\theta \sin\theta\)，再对θ积分，最终得到结果 \(\frac{1}{48}\)，与标准答案一致。

扣分点：

• 第一次识别中曲线方程误写为 \((x^2+y^2)^2 = a x^2 - y^2\)，多了一个字母"a"，但后续推导未使用此错误形式，且第二次识别正确，根据规则判定为识别误写，不扣分。
• 计算步骤省略较多，但关键步骤（积分限、被积函数、最终结果）正确，且题目未要求展示所有中间步骤，因此不扣分。

综上，学生作答核心逻辑正确，计算结果准确，给予满分14分。

题目总分：14分