评分及理由

（1）求a,b的值（满分6分）

得分：6分

理由：学生正确计算了特征多项式，得出特征值为1,3,b，并正确分析出b=1或3时满足仅有两个不同特征值。在b=1时通过秩的条件正确求出a=1；在b=3时通过秩的条件正确求出a=-1。这部分解答完整正确。

（2）求可逆矩阵P（满分9分）

得分：5分

理由：

在b=1,a=1的情况下：

• 正确求出了特征值1对应的特征向量(1,-1,0)ᵀ和(0,0,1)ᵀ
• 正确求出了特征值3对应的特征向量(1,1,1)ᵀ
• 构造的矩阵P基本正确，但最终的对角矩阵表示不完整，缺少对角元素

在b=3,a=-1的情况下：

• 给出的特征向量和矩阵P存在错误
• 最终的对角矩阵表示不完整且格式不规范

扣分点：

• b=3时特征向量求解错误（-2分）
• 对角矩阵表示不完整、不规范（-2分）

题目总分：6+5=11分