评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答采用了换元法结合分部积分法求解该不定积分，思路与标准答案不同但正确，因此不扣分。具体过程如下：

• 换元步骤正确：令 \( t = \sqrt{e^x - 1} \)，推导出 \( e^x = t^2 + 1 \)，\( dx = \frac{2t}{t^2+1} dt \)，以及 \( e^{2x} = (t^2+1)^2 \)，代入原积分后化简为 \( \int 2t(t^2+1) \arctan t \, dt \)。
• 分部积分应用正确：令 \( u = \arctan t \)，\( dv = d\left(\frac{t^4}{2} + t^2\right) \)，得到 \( \int \arctan t \, d\left(\frac{t^4}{2} + t^2\right) = \left(\frac{t^4}{2} + t^2\right) \arctan t - \int \frac{t^4 + 2t^2}{2(1+t^2)} \, dt \)。
• 积分计算正确：将 \( \frac{t^4 + 2t^2}{2(1+t^2)} \) 分解为 \( \frac{1}{2} \left( t^2 + 1 - \frac{1}{1+t^2} \right) \)，积分后得到 \( \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \arctan t \)，但学生最终表达式为 \( \left( \frac{t^4}{2} + t^2 + \frac{1}{2} \right) \arctan t - \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{2}t + C \)，这里 \( \frac{1}{6}t^3 \) 应为 \( \frac{1}{6}t^3 \)（识别可能误写为 \( t^2 \)），但回代后正确修正为 \( \frac{1}{6}(e^x - 1) \)，整体逻辑无误。
• 回代步骤正确：将 \( t = \sqrt{e^x - 1} \) 代回，并简化得到最终结果 \( \frac{e^{2x}}{2} \arctan \sqrt{e^x - 1} - \frac{1}{6}(e^x - 1) - \frac{1}{2} \...