评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答的基本思路与标准答案一致：构造辅助函数 \(F(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^3\)，并在区间 \([0, \frac{1}{2}]\) 和 \([\frac{1}{2}, 1]\) 上分别应用拉格朗日中值定理。最终通过两式相加得到所需结论。

然而，学生在应用拉格朗日中值定理时出现了逻辑错误：

• 对于 \(\xi \in (0, \frac{1}{2})\)，拉格朗日中值定理的正确形式应为 \(\frac{F(\frac{1}{2}) - F(0)}{\frac{1}{2} - 0} = F'(\xi)\)，但学生写成了 \(F'(\xi) = 2F(\frac{1}{2})\)，这里错误地将分母的倒数直接乘以函数值，导致表达式错误。
• 同样地，对于 \(\eta \in (\frac{1}{2}, 1)\)，正确形式应为 \(\frac{F(1) - F(\frac{1}{2})}{1 - \frac{1}{2}} = F'(\eta)\)，但学生写成了 \(F'(\eta) = -2F(\frac{1}{2})\)，这里同样出现了分母倒数乘函数值的错误。

尽管后续的推导步骤（即 \(F'(\xi) + F'(\eta) = 0\) 推出 \(f'(\xi) + f'(\eta) = \xi^2 + \eta^2\)）是正确的，但由于中间步骤存在逻辑错误，且这些错误影响了证明的严谨性，因此需要扣分。

考虑到学生正确构造了辅助函数并应用了拉格朗日中值定理的基本思想，但关键步骤存在错误，扣分幅度为4分。最终得分为6分。

题目总分：6分