评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第一问学生正确使用了变换 \( x = e^t \) 化简方程，得到了正确的二阶常系数线性微分方程 \( \frac{d^2y}{dt^2} - 9y = 0 \)，并正确写出通解 \( y = C_1 x^3 + C_2 x^{-3} \)。利用初始条件正确解得 \( C_1 = 2, C_2 = 0 \)，得到 \( y(x) = 2x^3 \)。虽然二阶导数计算过程表述不够严谨（如 \( \frac{d^2y}{dx^2} \) 的推导步骤有跳跃），但最终化简结果正确，且不影响后续求解。根据评分标准，思路正确且结果正确，不扣分。得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

第二问学生正确代入 \( y(x) = 2x^3 \)，得到积分 \( I = \int_1^2 2x^3 \sqrt{4 - x^2} dx \)，并通过代换 \( t = x^2 \) 正确转化为 \( \int_1^4 t \sqrt{4 - t} dt \)。使用分部积分法计算，过程完整，最终得到正确结果 \( \frac{22\sqrt{3}}{5} \)。计算步骤清晰，无逻辑错误。得6分。

题目总分：6+6=12分