评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答整体思路正确，计算过程基本准确，但在最终结果表达上存在一处明显错误。

• 旋转体体积公式：学生最初写为 \(V(t)= 2\pi\int_{t}^{2t}dx\int_{0}^{y}y\ dy\)，但随后正确推导为 \(\pi\int_{t}^{2t}x e^{-2x}dx\)，与标准答案一致，此处不扣分。
• 分部积分计算：学生正确使用分部积分法，计算过程详细，结果正确，不扣分。
• 导数计算：学生正确求出 \(V'(t) = \pi e^{-4t}t(4 - e^{2t})\)，与标准答案等价（标准答案为 \(\pi t e^{-2t}(4e^{-2t} - 1)\)，两者可通过代数变换相互转化），不扣分。
• 极值点与单调性：学生正确找到极值点 \(t = \ln 2\)，并正确分析单调性，不扣分。
• 最大值计算：学生正确代入 \(t = \ln 2\) 求最大值，但在最终结果中写为 \(V(\ln 2)=\frac{\pi\ln 2}{3216}+\frac{3\pi}{64}\)，其中“3216”显然是“32”的识别错误（根据上下文和计算过程可知应为32），但后续第二次识别结果中正确写出 \(\frac{\pi\ln 2}{32}+\frac{3\pi}{64}\)，与标准答案一致。根据“误写不扣分”原则，此处不扣分。
• 然而，在第二次识别结果的最后，学生写为 \(V(\ln 2)=\frac{\pi\ln 2}{32}+\frac{3\pi}{64}\)，但标准答案为 \(\left( \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \right)\pi\)，即 \(\frac{\pi\ln 2}{16}+\frac{3\pi}{64}\)。学生答案中 \(\frac{\pi\ln 2}{32}\) 比标准答案小了一半，这是一个计算错误，应扣1分。

因此，本题扣1分，得11分。

题目总分：11分