评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生使用了泰勒公式展开的方法，与标准答案的构造函数法不同，但思路正确。在推导过程中存在以下问题：

• 从泰勒展开式推导 $f(0)-f(1)$ 的表达式时，过程不够严谨
• 在组合表达式时，对 $f''(\eta_1)$ 和 $f''(\eta_2)$ 的处理不够严密
• 最终得到了正确的不等式形式

考虑到思路基本正确且最终结论正确，但推导过程存在瑕疵，扣2分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确应用了第(1)问的结论进行积分：

• 正确写出了积分不等式
• 正确计算了 $\int_0^1 \frac{x(1-x)}{2}dx = \frac{1}{12}$
• 正确处理了 $\int_0^1 [f(0)(1-x)+f(1)x]dx = \frac{f(0)+f(1)}{2}$
• 最终得到了正确结论

证明过程完整正确，但在绝对值符号的使用上有一处小瑕疵（第一行积分号内多了一个绝对值符号），考虑到这是识别问题，不扣分。

得分：6分

题目总分：4+6=10分