评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在以下问题：

• 拉格朗日函数构造错误：第一次识别中约束条件写为 \(x^2 + y + xy = 3\)（应为 \(x^2 + y^2 + xy = 3\)），第二次识别中正确构造为 \(F = x+y+xy + \lambda(x^2+y^2+xy-3)\)。
• 梯度计算错误：方向导数最大值应为梯度模的最大值，即 \(\sqrt{(1+y)^2+(1+x)^2}\) 在约束下的最大值。学生直接对 \(f(x,y)\) 使用拉格朗日乘子法求极值，未理解问题本质。
• 解方程组结果错误：求得驻点 \((1,1)\) 和 \((-1,-1)\) 不满足约束条件 \(x^2+y^2+xy=3\)（代入得 \(1+1+1=3\) 仅 \((1,1)\) 满足，但梯度模为 \(\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\)，非最大值）。
• 最终答案错误：最大方向导数应为梯度模的最大值，学生给出 \(\sqrt{2}\)，但标准答案为 \(3\)。

综上，学生思路完全偏离正确方向（未计算梯度模的极值），且计算过程存在多处逻辑错误。根据评分标准，逻辑错误需扣分，故得分为 0 分。

题目总分：0分