评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

第1次识别结果：

• 学生将原方程化为标准形式 \(y'-\frac{1}{x}y = xe^{-x}\)，这一步是正确的。
• 使用一阶线性微分方程的通解公式 \(y = e^{\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx + C]\)，其中 \(P(x) = -\frac{1}{x}\)，\(Q(x) = xe^{-x}\)，代入正确。
• 计算过程：\(e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{1}{x}dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}\)，但学生写成了 \(e^{\ln x} = x\)，这是错误的，应为 \(e^{\int -\frac{1}{x}dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}\)。然而，在后续计算中，学生写的是 \(y = e^{\ln x}[\int xe^{-x}e^{-\ln x}dx + c]\)，这里 \(e^{\ln x} = x\) 对应的是 \(e^{\int \frac{1}{x}dx}\)，但标准形式中应是 \(e^{\int P(x)dx}\)，而 \(P(x) = -\frac{1}{x}\)，所以应为 \(e^{-\ln x} = \frac{1}{x}\)。学生此处符号错误，但巧合的是，在公式应用中，学生实际使用了 \(e^{\int \frac{1}{x}dx}\)（即 \(x\)）作为积分因子，这对应于将方程写为 \((xy)' = x^2 e^{-x}\) 的形式，这是一种正确的解法。后续计算 \(\int e^{-x}dx = -e^{-x} + c\) 正确，最终得到 \(y = -xe^{-x} + cx\)，与标准答案一致。
• 因此，尽管中间有符号混淆，但整体思路正确，且最终答案正确，根据“思路正确不扣分”原则，不扣分。
• 得分：4分

（2）得分及理由（满分4分）

第2次识别结果：

• 学生将原方程化为 \(y' + y = -xe^{-x}\)，但原方程为 \((y + x^2 e^{-x})dx - x dy = 0\)，化为标准形式应为 \(y' - \frac{1}{x}y = xe^{-x}\)。学生此处化错误，导致 \(P(x)=1\)，\(Q...