评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生最终得到正确答案 y = x²e^(-x)，并正确求出导数和极值点 x=2，得到最大距离 4e^(-2)。但在求解微分方程过程中存在多处逻辑错误：

• 特征方程求解错误：写为 2x²y - 1 = 0 和 y = 3y³ - 1 等无意义表达式
• 齐次通解形式错误：写为 Ge^(2x) + ce^(-x)（应为 C₁e^(-x) + C₂e^(x/2)）
• 特解代入过程混乱，出现重复计算和错误等式
• 初始条件代入错误：写为 x₀ = 1/2(1 - c₂) = 0 等无意义表达式

虽然最终函数正确，但求解过程存在严重逻辑错误。考虑到最终答案正确，给3分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出积分表达式 ∫₀^+∞ x³e^(-x)dx，并通过分部积分得到正确答案6。但积分过程书写混乱：

• 中间步骤有错误表达式：∫₀^+∞ e^(-x)dx³ 写法不规范
• 出现 x³∫₀^+∞ xe^(-x)dx 等错误过渡
• 最后一步 -6e^(-x)|₀^+∞ = 6 计算正确但书写不规范

主要计算思路和最终结果正确，过程虽有瑕疵但不影响结论。给5分。

题目总分：3+5=8分