评分及理由

（1）微分方程求解部分得分及理由（满分6分）

学生正确识别了微分方程类型并应用了一阶线性非齐次微分方程的求解公式。在第一次识别中，学生将方程写为 \(y'-2\frac{1}{x}y=\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{x}\)，这与标准答案的等价形式一致。求解过程中，积分计算 \(\int\frac{\ln x}{x^{3}}dx\) 使用了分部积分法，虽然步骤略显简化，但最终得到了正确结果 \(y=Cx^{2}-\frac{1}{2}\ln x\)。代入初值条件 \(y(1)=\frac{1}{4}\) 得到 \(C=\frac{1}{4}\)，最终解 \(y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x\) 正确。第二次识别中，学生明确写出了 \(P(x)=-\frac{2}{x}\)，这与标准答案中的系数一致，求解过程完整且正确。因此，微分方程求解部分得6分。

（2）弧长计算部分得分及理由（满分6分）

学生正确应用了弧长公式 \(L=\int_{1}^{e}\sqrt{1+(y')^{2}}dx\)。求导得到 \(y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x}\) 正确。在计算 \(\sqrt{1+(y')^{2}}\) 时，学生通过代数化简得到 \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\)，这与标准答案中的 \(\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\) 等价。积分计算 \(\int_{1}^{e}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x})dx\) 过程正确，最终结果 \(\frac{e^{2}+1}{4}\) 正确。因此，弧长计算部分得6分。

题目总分：6+6=12分