评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在多处错误：

• 第一次识别中特征向量α₁=(-1,0,0)错误，应为(-1,0,1)
• 第一次识别中正交矩阵Q的构造有误，最后一列应为(1/√2,0,1/√2)
• 第一次识别中标准形写为2y₁²+4y₂²+y₃²错误，应为2y₁²+4y₂²+4y₃²
• 第二次识别中标准形写为2y₁²+4y₂²+4y₃²，虽然系数正确但顺序与特征值对应关系不明确
• 两次识别中正交矩阵的构造都存在列向量顺序问题

但学生正确求出了特征值和基本特征向量，主要思路正确。考虑到识别误差，给予部分分数。

得分：6分

（2）得分及理由（满分10分）

学生作答存在严重错误：

• 第一次识别中f(x)=2x₁²+2x₂²+2x₃²错误
• 第二次识别中f(x)=2x₁²-2x₂²-2x₃²完全错误
• 证明过程逻辑混乱，没有正确利用第(1)问的结果
• 虽然写出了(x₁+x₃)²+2x₂²≥0，但这与原二次型不符
• 最终结论min≥2缺乏有效证明

证明思路完全偏离标准答案，未能正确完成证明。

得分：2分

题目总分：6+2=8分