评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确地将面积表示为 \( S_n = \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx \)，并拆分为区间上的积分和。在计算每个区间上的积分时，学生正确使用了不定积分公式 \( \int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C \)，并注意到需要取绝对值。在求和时，学生正确地将各项组合成几何级数形式，并最终得到 \( S_n = \frac{1 + e^{-n\pi}}{2} + \frac{e^{-\pi} - e^{-n\pi}}{1 - e^{-\pi}} \)。这个表达式与标准答案等价（通过代数变形可相互转换），因此思路和计算完全正确。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生在计算极限时正确应用了 \( \lim_{n \to \infty} e^{-n\pi} = 0 \)，得到 \( \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} + \frac{e^{-\pi}}{1 - e^{-\pi}} \)。虽然学生进一步化简为 \( \frac{e^{\pi} + 1}{2(1 - e^{-\pi})} \)，但这与标准答案 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{e^{\pi} - 1} \) 等价（通过通分可验证）。因此极限计算正确。得5分。

题目总分：5+5=10分