评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(x^2\)，而标准答案是 \(\sqrt{x}\)。我们需要验证学生的答案是否满足原微分方程和初始条件。

原方程为：\(y dx + (x - 3y^2) dy = 0\)，且初始条件为 \(x=1\) 时 \(y=1\)。

如果 \(y = x^2\)，则 \(dy = 2x dx\)。代入原方程：

左边 = \(x^2 dx + (x - 3(x^2)^2)(2x dx) = x^2 dx + (x - 3x^4)(2x dx)\)

\(= x^2 dx + (2x^2 - 6x^5) dx = (3x^2 - 6x^5) dx\)

这并不恒等于0，因此不满足微分方程。

此外，检查初始条件：当 \(x=1\) 时，\(y = 1^2 = 1\)，满足初始条件。但微分方程本身不满足，因此答案错误。

由于这是一个填空题，答案错误，且没有展示任何解题过程，无法判断其思路是否正确。根据评分标准，答案与标准答案不一致，且验证后不满足原方程，因此得0分。

题目总分：0分