评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了极限 a 的值。第一步将函数通分得到 \(\frac{x(1+x)-\sin x}{x\sin x}\)，然后利用等价无穷小 \(\sin x \sim x\) 化简分母为 \(x^2\)，再通过泰勒展开计算分子得到极限为 1。虽然书写中出现了 \(\stackrel{\sim}{=}\) 符号不够规范，但核心思路和计算正确。根据禁止扣分原则，符号使用不规范不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了常数 k 的值。通过计算 \(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-a}{x^k}\)，将表达式化为 \(\frac{x+x^2-\sin x-x\sin x}{x^{k+2}}\)，然后对分子进行泰勒展开，得到分子等价于 \(\frac{1}{6}x^3\)，从而得出 \(k+2=3\)，解得 \(k=1\)。整个过程思路清晰，计算正确。得5分。

题目总分：5+5=10分