评分及理由

（1）微分方程求解部分（满分4分）

学生正确整理微分方程为标准形式，并正确使用一阶线性微分方程求解公式得到通解 \(y = C_1x^2 - \frac{\ln x}{2}\)，代入初始条件 \(y(1)=\frac{1}{4}\) 得到特解 \(y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{\ln x}{2}\)。这部分解答完整正确，得4分。

（2）导数计算部分（满分2分）

虽然没有显式写出导数计算过程，但在弧长计算中直接使用了正确的导数表达式（从积分式 \(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\) 可反推出 \(y' = \frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\)），因此认为导数计算正确，得2分。

（3）弧长计算部分（满分6分）

学生正确写出弧长公式 \(\int_{1}^{e} \sqrt{1+[y'(x)]^2} dx\)，但在化简过程中存在逻辑错误：直接从 \(\sqrt{1+[y'(x)]^2}\) 得到 \(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\) 缺少必要的推导步骤。实际上： \[1+[y'(x)]^2 = 1 + \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(x + \frac{1}{x}\right)^2\] \[\sqrt{1+[y'(x)]^2} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x}\right)\] 学生跳过了这一关键步骤，直接写出结果，属于逻辑不完整。但由于最终积分表达式和计算结果正确，扣2分，得4分。

题目总分：4+2+4=10分