评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确写出了二次型对应的矩阵A，计算了特征多项式并得到特征值λ=2,4,4。在求特征向量时，对于λ=2得到了(1,0,-1)ᵀ，对于λ=4得到了(0,1,0)ᵀ和(1,0,1)ᵀ，这些特征向量相互正交。构造的正交矩阵Q形式正确，但列向量的排列顺序与标准答案不同，这不会影响结果。通过正交变换得到的标准形为2y₁²+4y₂²+4y₃²，与标准答案4y₁²+4y₂²+2y₃²只是变量顺序不同，实质相同。考虑到学生解答完整且正确，仅因正交矩阵列向量顺序不同不影响得分。得10分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确利用了正交变换下xᵀx=yᵀy的性质，将f(x)/xᵀx转化为(2y₁²+4y₂²+4y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)，并通过代数变换得到2+(2y₂²+2y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)≥2，从而得出最小值为2。证明过程完整且正确。得5分。

题目总分：10+5=15分