评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中第15题答案为 \((-3,5,-1)^T\)，与标准答案 \(\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) 完全一致。该题考查的是基变换下坐标的计算，根据过渡矩阵的定义，若向量在基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 下的坐标为 \(x\)，在基 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 下的坐标为 \(y\)，且过渡矩阵 \(P\) 满足 \(\beta = \alpha P\)，则坐标变换公式为 \(x = Py\) 或等价地 \(y = P^{-1}x\)。本题中给出的 \(P\) 是从 \(\alpha\) 到 \(\beta\) 的过渡矩阵，因此坐标变换应为 \(y = P^{-1}x\)，其中 \(x = (1,2,-3)^T\)。计算 \(P^{-1}x\) 可得 \((-3,5,-1)^T\)，学生答案正确。因此得5分。

题目总分：5分