评分及理由

（1）变换过程得分及理由（满分4分）

学生正确使用了变换 \( t = \tan x \)，并推导了 \(\frac{dy}{dx} = (1+t^2)\frac{dy}{dt}\) 和 \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2}(1+t^2)^2 + 2t(1+t^2)\frac{dy}{dt}\)，这与标准答案等价（标准答案用 \(\cos^2 x = 1/(1+t^2)\) 表示）。代入原方程后得到 \(\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + y = t\)，与标准答案一致。但学生在计算 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 时未明确写出中间步骤，而标准答案展示了详细推导。考虑到核心变换正确，仅扣1分。

得分：3分

（2）求解新方程得分及理由（满分4分）

学生正确写出齐次方程的特征方程 \(r^2+2r+1=0\) 和根 \(r_{1,2}=-1\)，但齐次通解第一次识别写为 \(\bar{y} = te^{-t}(c_1+c_2t)\)（错误），第二次识别修正为 \(\bar{y} = e^{-t}(C_1+C_2t)\)（正确）。特解设 \(y^*=At+B\) 并代入解得 \(A=1, B=-2\)，正确。因第一次识别有逻辑错误，扣1分。

得分：3分

（3）回代得通解得分及理由（满分2分）

学生正确将 \(t = \tan x\) 回代，得到通解 \(y = (C_1 + C_2 \tan x)e^{-\tan x} + \tan x - 2\)，与标准答案一致。

得分：2分

题目总分：3+3+2=8分