评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生使用了斯托克斯公式进行计算，思路正确。但在以下方面存在错误：

• 第一次识别中，将曲面方程误写为 \(x^4y^4z^2=5\) 和 \(z^2 = x^4y^4+1\)，但后续正确得到 \(z=2\) 和 \(z=-3\) 并舍去 \(z=-3\)，但交线方程误写为 \(x^4+y^4=1\)，应为 \(x^2+y^2=1\)。
• 第二次识别中，曲面方程误写为 \(x^2+y+z^2=5\) 和 \(z=x+y+1\)，但后续正确得到 \(z=2\) 和 \(z=-3\) 并舍去 \(z=-3\)，但交线方程误写为 \(x+y+z=1\)，应为 \(x^2+y^2=1, z=2\)。
• 在旋度计算中，两次识别均出现错误：第一次识别中向量场误写为 \(x^4y^4z, x^2+y^2, x+y+1\)，旋度计算为 \((1, x^4-1, 2x-x^2z)\)，但正确应为 \((1, x^2y-1, 2x-x^2z)\)；第二次识别中向量场误写为 \(xyz, x^2y^2, x+y+1\)，旋度计算为 \((1, xy-1, 2x-x^2z)\)，但正确应为 \((1, x^2y-1, 2x-x^2z)\)。
• 在曲面积分中，学生取曲面方向为“向上”，但根据题目要求（从z轴正向看去顺时针），应取下侧。方向错误导致符号错误。
• 最终计算结果为 \(-\frac{\pi}{2}\)，但正确答案为 \(\frac{\pi}{2}\)，符号错误。

由于存在多处逻辑错误（交线方程错误、旋度计算错误、曲面方向错误），但整体思路正确且计算过程完整，扣分如下：

• 交线方程错误：扣2分
• 旋度计算错误：扣3分
• 曲面方向错误：扣2分
• 最终结果错误：扣1分

得分：12 - 2 - 3 - 2 - 1 = 4分

题目总分：4分