评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：5分

理由：

• 学生正确设 \( g(x) = \frac{f(x)}{x} \)，并推导出 \( x^2 g'(x) = a(1 - \ln x) \)，积分得到 \( g(x) = a \cdot \frac{\ln x}{x} + C \)，从而得到 \( f(x) = a \ln x + Cx \)。
• 利用 \( f(1) = -1 \) 正确得出 \( C = -1 \)，得到 \( f(x) = a \ln x - x \)。
• 求导得 \( f'(x) = \frac{a - x}{x} \)，并指出当 \( a > 0 \) 时存在唯一极值点 \( x = a \)。
• 扣分点：未讨论 \( a \leq 0 \) 时的情况，虽然结论正确，但分析不完整，扣1分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：3分

理由：

• 学生正确写出 \( \frac{\ln x_1}{x_1} = \frac{\ln x_2}{x_2} \)，并指出 \( x_2 > e > x_1 > 0 \)。
• 试图通过证明 \( f(x_1) < f\left(\frac{e^2}{x_2}\right) \) 来推导 \( x_1 x_2 > e^2 \)，但逻辑链条不完整，未明确建立 \( f(x_1) = f(x_2) \) 与目标不等式的关系。
• 构造函数 \( G(x) = (2 - \ln x)x^2 - e^2 \ln x \)，但求导过程存在错误：\( G'(x) \) 的正确表达式应为 \( 4x - 2x \ln x - \frac{e^2}{x} \)，学生写为 \( 3x - 2x \ln x - \frac{e^2}{x} \)，导致后续分析错误。
• \( G''(x) \) 的计算和单调性判断有误，且最终结论 \( G(x) > 0 \) 未得到有效证明。
• 由于核心逻辑错误和计算错误，扣3分。

题目总分：5+3=8分