评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"1/3"，与标准答案一致。题目要求计算极限 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(\sin^2 t + \cos t) dt}{x e^{x^2} - x}\)，已知条件为 \(f(x)\) 连续且 \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 2\)。

正确的解题思路应该是：

1. 当 \(x \to 0\) 时，分子是积分形式，分母是 \(x e^{x^2} - x\)，这是0/0型未定式
2. 应用洛必达法则，分子求导得 \(f(\sin^2 x + \cos x)\)，分母求导得 \(e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} - 1\)
3. 当 \(x \to 0\) 时，\(\sin^2 x + \cos x \to 1\)，且由已知条件可得 \(f(\sin^2 x + \cos x) \sim 2[(\sin^2 x + \cos x) - 1]\)
4. 化简后得到极限值为 \(\frac{1}{3}\)

学生直接给出了正确答案，说明掌握了正确的解题方法，因此给满分5分。

题目总分：5分