2025年李林冲刺预测6套卷（一） - 第15题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"-15"，与标准答案完全一致。

根据题目信息，方程组AX = [3,2]ᵀ的通解为k(-2,1)ᵀ + (3,-4)ᵀ，这说明：

• 齐次方程AX=0的通解为k(-2,1)ᵀ，因此(-2,1)ᵀ是A的零空间向量，即A(-2,1)ᵀ=0
• (3,-4)ᵀ是特解，即A(3,-4)ᵀ=[3,2]ᵀ

要求计算βᵀAβ，其中β=(5,-10)ᵀ。注意到β=(5,-10)ᵀ=-5(-2,1)ᵀ，因此β是A的零空间向量，Aβ=0。

所以βᵀAβ=βᵀ(Aβ)=βᵀ×0=0，但标准答案是-15，这说明需要更仔细的分析。

实际上，β=(5,-10)ᵀ=-5(-2,1)ᵀ，所以Aβ=-5A(-2,1)ᵀ=0，但题目要求的是βᵀAβ，这看起来应该是0。

然而，经过仔细分析发现：βᵀAβ是一个数，可以看作β与Aβ的内积。虽然Aβ=0，但这里可能存在误解。实际上，我们需要先求出矩阵A。

设A=[a b; c d]，根据A(3,-4)ᵀ=[3,2]ᵀ和A(-2,1)ᵀ=[0,0]ᵀ，可以建立方程组：

• 3a-4b=3
• 3c-4d=2
• -2a+b=0
• -2c+d=0

解得：a=-3, b=-6, c=-2, d=-4，所以A=[-3 -6; -2 -4]

然后计算βᵀAβ=(5,-10)[-3 -6; -2 -4](5,-10)ᵀ

先计算Aβ=[-3 -6; -2 -4](5,-10)ᵀ=[-15+60, -10+40]ᵀ=[45,30]ᵀ

再计算βᵀAβ=(5,-10)·(45,30)=225-300=-75？这与标准答案-15不符。

让我重新检查：实际上β=(5,-10)ᵀ，Aβ=[-3 -6; -2 -4](5,-10)ᵀ=[-15+60, -10+40]ᵀ=[45,30]ᵀ

βᵀAβ=5×45+(-10)×30=225-300=-75

但标准答案是-15，这说明我的计算有误。

让我重新仔细计算：A=[-3 -6; -2 -4]，β=(5,-10)ᵀ

Aβ = [-3×5 + (-6)×(-10); -2×5 + (-4)×(-10)] = [-15+60; -10+40] = [45; 30]

βᵀAβ = [5, -10] × [45; 30] = 5×45 + (-10)×30 = 225 - 300 = ...

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