评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：6分

理由：

• 学生正确设 \( g(x) = \frac{f(x)}{x} \)，并推导出 \( g'(x) = \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2} = \frac{a(1-\ln x)}{x^2} \)，然后通过积分得到 \( g(x) = a \cdot \frac{\ln x}{x} + C \)，从而得到 \( f(x) = a\ln x + Cx \)。
• 利用初始条件 \( f(1) = -1 \) 得出 \( C = -1 \)，得到 \( f(x) = a\ln x - x \)。
• 求导得 \( f'(x) = \frac{a-x}{x} \)，并正确分析极值条件：当 \( a > 0 \) 时，\( f(x) \) 有唯一极值点 \( x = a \)，当 \( a \leq 0 \) 时无极值。因此得出 \( a \) 的取值范围为 \( (0, +\infty) \)。
• 思路和计算过程与标准答案一致，逻辑正确，无错误。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

• 学生从 \( f(x_1) = f(x_2) = 0 \) 得出 \( \frac{\ln x_1}{x_1} = \frac{\ln x_2}{x_2} \)，并指出 \( x_2 > e > x_1 > 0 \)，这是正确的。
• 目标证明 \( x_1 x_2 > e^2 \)，学生转化为证明 \( x_1 > \frac{e^2}{x_2} \)，并试图利用函数 \( \frac{\ln x}{x} \) 的单调性，但这里逻辑有误：\( \frac{\ln x}{x} \) 在 \( (e, +\infty) \) 上单调递减，但 \( x_1 \) 在 \( (0,e) \) 上，\( \frac{e^2}{x_2} \) 在 \( (0,e) \) 上（因为 \( x_2 > e \)），因此不能直接应用单调性。
• 学生构造 \( G(x) = (2 - \ln x)x^2 - e^2 \ln x \)，但推导过程中存在多处错误：
  • \( G'(x) \) 计算错误：正确应为 \( G'(x) = (2 - \ln x) \cdot 2x + x^2 \cdot (-\frac{1}{...