评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出二次型矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \)，与标准答案一致。但在展开二次型时，第1次识别结果为 \( x_1^2 + 2x_2^2 + 9x_3^2 + \cdots \)，其中 \( 2x_2^2 \) 应为 \( 4x_2^2 \)，存在计算错误；第2次识别结果相同。不过，矩阵A的构造正确，且题目主要考察矩阵的写出，因此该错误不扣分。得4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确求出特征值 \( \lambda_1 = 14, \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \)，并求出对应特征向量 \( \alpha_1 = (1,2,3)^\mathrm{T} \)、\( \alpha_2 = (2,-1,0)^\mathrm{T} \)（标准答案为 \( (-2,1,0)^\mathrm{T} \)，但两者仅差一个符号，等价，不扣分）、\( \alpha_3 = (-3,-6,5)^\mathrm{T} \)。正交化过程未明确写出，但直接给出正交向量组，且单位化后构造正交矩阵 \( Q \)。然而，在单位化时，第1次识别中 \( Q \) 的第二列 \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) 应为 \( \frac{-2}{\sqrt{5}} \)（与 \( \alpha_2 \) 符号一致），但第2次识别中已修正为 \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) 和 \( \frac{-1}{\sqrt{5}} \)，仍存在符号不一致问题；第三列也有类似问题。此外，学生未对 \( \alpha_2 \) 和 \( \alpha_3 \) 进行正交化（标准答案中 \( \xi_3 \) 由正交化得到），但这里 \( \alpha_2 \) 和 \( \alpha_3 \) 恰好正交，因此不扣分。由于单位化符号错误影响正交性，扣1分。得3分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生正确通过正交变换得到标准形 \( 14y_1^2 \)，并由 \( f=0 \) 推出 \( y_1=0 \)，进而表示解空间。但在最终解的表达中，第1次识别结果为 \( c_1(1,...