评分及理由

（1）最大似然估计量推导得分及理由（满分6分）

学生正确写出了两个总体的概率密度函数，构建了似然函数并取对数，求导后得到估计量表达式。但在求导过程中存在逻辑错误：对 \(\ln L(\theta)\) 求导时，学生写出的导数方程为 \(2\theta(m+n) = \sum x_i + \sum y_j\)，这与标准答案中的方程不一致。实际上，学生的推导中忽略了系数问题，导致最终得到的估计量表达式为 \(\hat{\theta} = \frac{\sum X_i + \sum Y_j}{2(m+n)}\)，而正确答案应为 \(\hat{\theta} = \frac{2\sum X_i + \sum Y_j}{2(m+n)}\)。这是一个关键的计算错误，扣2分。

得分：4分

（2）方差计算得分及理由（满分6分）

学生在方差计算部分正确识别了 \(D(X) = \theta^2\) 和 \(D(Y) = 4\theta^2\)，但在计算 \(D(\hat{\theta})\) 时，由于使用了错误的估计量表达式，导致方差计算也出现错误。学生写的是 \(D(\sum X_i + \sum Y_j)\)，而根据其估计量应该是 \(D(2\sum X_i + \sum Y_j)\)。不过最终结果 \(\frac{\theta^2}{m+n}\) 恰好与正确答案一致，这可能是巧合。

考虑到学生使用了错误的估计量但得到了正确的结果，且计算过程基本正确，扣1分。

得分：5分

题目总分：4+5=9分