评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确建立了微分方程 \(y' - \frac{y}{x} = -1\)（等价于 \(y' - \frac{y}{x} + 1 = 0\)），并采用变量代换法求解。在求解过程中，学生得到 \(p = -\ln|x| + C_1\)，但在代入初始条件时出现错误：题目给定曲线经过点 \((c^2, 0)\)，且从上下文可知 \(c = e\)，即点 \((e^2, 0)\)，但学生错误代入点 \((e^2, e)\) 或 \((e^2, \frac{e}{e})\)，导致常数 \(C_1\) 计算错误。然而，学生最终得到的函数 \(y = 2x - x\ln x\) 与标准答案 \(y = x(2 - \ln x)\) 等价，且满足初始条件 \(y(e^2) = 0\)，说明计算错误未影响最终结果。根据评分规则，思路正确且最终答案正确，不扣分。但初始条件代入错误属于逻辑错误，应扣1分。得分：4分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求出切线与y轴截距为 \(x\)，与x轴截距为 \(\frac{x}{\ln x - 1}\)（虽然表达式写法不同，但化简后与标准答案一致），并建立面积函数 \(S(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{\ln x - 1} = \frac{x^2}{2(\ln x - 1)}\)。求导过程在第一次识别中表述混乱，但第二次识别中正确得到 \(S'(x) = \frac{x(2\ln x - 3)}{2(\ln x - 1)^2}\)，并正确找到驻点 \(x = e^{3/2}\)。单调性分析和最小值计算正确，最小面积 \(e^3\) 正确。根据评分规则，思路正确且最终答案正确，不扣分。得分：5分。

题目总分：4+5=9分