评分及理由

（1）极坐标变换部分（满分3分）

学生第1次识别结果中极坐标变换表达式有误：被积函数应为 \(\frac{1}{r^2(3\cos^2\theta+\sin^2\theta)}\)，但学生写成了 \(\frac{1}{3\cos^2\theta+\sin\theta}\)（分母缺少平方）且积分限表达式有误。第2次识别正确给出了极坐标变换的完整形式，包括正确的被积函数和积分限。根据"两次识别只要有一次正确则不扣分"的原则，本部分不扣分。
得分：3分

（2）内层积分计算（满分4分）

第1次识别中内层积分表达式有逻辑错误，将 \(\frac{1}{r}\) 写成了 \(\frac{1}{r} \cdot r dr\)。第2次识别完全正确：正确计算了 \(\int \frac{1}{r} dr = \ln r\)，并得到 \(\ln 2\) 的结果。根据"两次识别只要有一次正确则不扣分"的原则，本部分不扣分。
得分：4分

（3）外层积分计算（满分5分）

第1次识别中：
- 错误地将 \(\frac{1}{3\cos^2\theta+\sin^2\theta}\) 写成 \(\frac{1}{3+\tan\theta}\sec^2\theta\)
- 但最终积分计算思路正确，得到了 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{\tan\theta}{\sqrt{3}}\)
- 计算过程有跳跃但最终结果数值正确

第2次识别完全正确：
- 正确进行三角变换：\(\frac{1}{3\cos^2\theta+\sin^2\theta} = \frac{\sec^2\theta}{3+\tan^2\theta}\)
- 正确换元 \(u = \tan\theta\)
- 正确应用积分公式 \(\int \frac{1}{3+u^2} du = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{u}{\sqrt{3}}\)
- 正确代入上下限得到 \(\frac{\pi}{4\sqrt{3}}\ln 2\)

根据"两次识别只要有一次正确则不扣分"的原则，本部分不扣分。
得分：5分

题目总分：3+4+5=12分