评分及理由

（1）分离变量与通解（满分3分）

学生正确将原方程变形为变量可分离形式，并正确积分得到通解 \(y+\frac{1}{3}y^{3}=x-\frac{x^{3}}{3}+C\)，且利用初值条件 \(y(2)=0\) 正确求出常数 \(C=\frac{2}{3}\)。此部分步骤完整且正确，得3分。

（2）求驻点（满分3分）

学生通过对隐函数方程两边求导得到 \(y'+y^{2}y'=1-x^{2}\)，并令 \(y'=0\) 正确求得驻点 \(x=\pm 1\)。但在第一次识别中，学生写为“令 \(F(y)=y+\frac{1}{3}y^{3}\)，\(F'(y)=1+y^{2}>0\)，故 \(F(y)\) 单调递增”，此步骤虽正确但与求驻点无直接逻辑关系，属于冗余内容，不影响得分。此部分得3分。

（3）判断极值（满分4分）

学生通过二阶导数判断极值：对导函数再次求导，代入 \(y'=0\) 得到 \(y''=\frac{-2x}{1+y^{2}}\)，并正确计算 \(x=1\) 时 \(y''=-1<0\)（极大值），\(x=-1\) 时 \(y''=2>0\)（极小值）。但在求极值点函数值时，学生直接给出 \(x=1\) 时 \(y=1\)，\(x=-1\) 时 \(y=0\)，未展示代入隐式方程求解过程，但结果与标准答案一致。考虑到计算过程隐含在上下文中，且结果正确，此部分得4分。

题目总分：3+3+4=10分