评分及理由

（1）函数展开与偏导数计算（满分2分）

学生正确展开函数为 \(f(x,y)=x^5+y^2-x^3y-x^2y\)，并计算出一阶偏导数 \(f_x'=5x^4-3x^2y-2xy\) 和 \(f_y'=2y-x^3-x^2\)，与标准答案等价（标准答案形式不同但可通过代数变换得到一致结果）。此处得2分。

（2）驻点求解（满分3分）

学生求得驻点 \((1,1),(0,0),(-1,1/2)\)。其中： - \((1,1)\) 正确； - \((0,0)\) 正确； - \((-1,1/2)\) 错误（标准答案为 \((2/3,10/27)\)）。 由于漏解一个正确驻点且多解一个错误驻点，扣2分。此处得1分。

（3）二阶偏导数计算（满分2分）

正确计算二阶偏导数 \(f_{xx}''=20x^3-6xy-2y\), \(f_{xy}''=-3x^2-2x\), \(f_{yy}''=2\)，与标准答案等价。此处得2分。

（4）极值判定（满分5分）

① 对 \((1,1)\)：正确计算 \(A=12,B=-5,C=2\)，判定 \(AC-B^2<0\) 非极值点，得1分。 ② 对 \((0,0)\)：第一次识别错误判定为极小值点（扣1分）；第二次识别通过取路径修正判定为非极值点（补回1分）。综合得1分。 ③ 对 \((-1,1/2)\)：驻点本身错误，后续判定无效，扣2分。 ④ 未分析正确驻点 \((2/3,10/27)\)，扣2分。 此处得1分。

题目总分：2+1+2+1=6分