评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"-1"，与标准答案一致。

根据题目条件 $a_{ij} + A_{ij} = 0$，即 $a_{ij} = -A_{ij}$。由代数余子式的性质，对于矩阵$A$有：

• $A$的伴随矩阵$A^*$的元素是$A_{ij}$
• $AA^* = A^*A = |A|I$

由$a_{ij} = -A_{ij}$可得$A = -A^*$，代入上式得：

$A(-A^*) = -AA^* = -|A|I$

又因为$AA^* = |A|I$，所以$-|A|I = |A|I$，即$2|A|I = 0$

由于$A$是非零矩阵，$|A|$不能为0，所以$2|A| = 0$不成立。实际上，由$A = -A^*$和$AA^* = |A|I$可得：

$A(-A) = -A^2 = |A|I$

同时，$A(-A) = -A^2 = -|A|I$

比较两式得：$|A|I = -|A|I$，即$2|A|I = 0$

由于$I$是单位矩阵，所以$|A| = 0$或$|A| = -1$。但若$|A| = 0$，则$A$是奇异矩阵，与$A = -A^*$矛盾（因为如果$|A| = 0$，则$A^*$的秩小于等于1，而$A$的秩与$A^*$相同，这与$A$是三阶非零矩阵矛盾）。

因此$|A| = -1$。学生答案正确，得4分。

题目总分：4分