评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，但存在以下问题：

• 在化简被积函数时，学生错误地将 \( f(xy) \) 替换为 \( (xy) \)，这属于逻辑错误，导致中间步骤不正确。但最终化简结果与标准答案一致，说明后续步骤正确。
• 在极坐标积分时，学生错误地将积分区域限制在第一象限（\( \theta \) 从 0 到 \( \frac{\pi}{2} \)），并乘以 4，而标准答案中积分区域是整个圆环（\( \theta \) 从 0 到 \( 2\pi \)）。这属于逻辑错误，但最终计算结果与标准答案一致，可能是巧合或计算错误抵消。
• 计算过程中有误写（如 \( r^2 \) 积分后应为 \( \frac{r^3}{3} \)，但学生写为 \( \frac{4}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^3 \big|_{1}^{2} d\theta \)，其中 \( r^3 \) 应为 \( r^2 \) 积分的结果），但最终数值正确，不扣分。

由于核心思路正确（如使用方向导数转换、极坐标计算），且最终答案正确，但存在逻辑错误，扣 2 分。得分：8 分。

题目总分：8分