评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“2e-1”，而标准答案是“2e”。

计算过程分析：该级数求和可以通过幂级数展开来求解。考虑指数函数的幂级数展开式 \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)。通过求导和代数变换，可以得到 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} \)。进一步处理，令 \( k = n-1 \)，则原级数变为 \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \)。其中 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} = e \)，而 \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e \)。因此总和为 \( e + e = 2e \)。

学生答案“2e-1”与正确结果“2e”不符，存在计算错误。虽然学生可能知道使用幂级数方法，但在具体计算过程中出现了逻辑错误，导致最终结果偏差。根据评分要求，对于有逻辑错误的答案不能给满分，且该题答案错误，故得0分。

题目总分：0分