评分及理由

（1）求解曲线方程部分（满分4分）

学生正确识别了微分方程并变形为$(yy')' = -\frac{1}{2}$，积分得到$yy' = -\frac{1}{2}x + C_1$，利用初始条件$y'(0)=0$确定$C_1=0$。但在分离变量积分时出现错误：从$y dy = -\frac{1}{2}x dx$积分应得$\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{4}x^2 + C_2$，但学生得到$y^2 = -\frac{x^2}{2}+1$，这相当于$C_2=1$，而正确值应为$C_2=2$（由$y(0)=\sqrt{2}$得$y^2(0)=2$）。因此曲线方程错误，导致后续区域判断错误。扣2分。

得分：2分

（2）求函数极值部分（满分8分）

学生正确求出驻点$(0,0)$。但在边界分析时：

• 当$x=0$时，学生考虑$f(x,y)=2y^2$，但未说明这是在边界曲线上的情况，且直接求导找驻点的方法不适用于边界约束条件。
• 当$y=0$时，学生正确识别$(\pm\sqrt{2},0)$不在区域内。
• 在曲线$\frac{x^2}{2}+y^2=1$上，学生采用代入法但未使用拉格朗日乘数法，方法不完整。

由于曲线方程错误，导致所有边界点计算都基于错误曲线。但学生思路基本正确，只是执行有误。扣4分。

得分：4分

题目总分：2+4=6分