评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确求出a=4，并给出矩阵A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=6（2分）。正确求出特征向量并单位化得到正交矩阵Q（2分）。正确计算Qᵀ(A+A*)Q并得到标准形14y₁²+14y₂²+10y₃²（2分）。但存在以下问题：

1. 在计算|A|>0时，仅得到a²>4，未说明正定时所有特征值大于0的条件，但最终结果正确，不扣分
2. Q矩阵的写法与标准答案略有差异（第三列符号不同），但正交变换不唯一，不扣分
3. 未给出A*的具体计算过程，但最终结果正确，不扣分

得分：6分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生思路正确，知道需要找到P使得A=PᵀP，并试图通过QᵀPQ为对角矩阵来构造P（2分）。但存在以下严重问题：

1. 逻辑错误：错误认为Pᵀ=P，这是对对称矩阵分解的误解（扣2分）
2. 计算不完整：只写出QᵀPQ为对角矩阵，但未给出完整的P矩阵表达式（扣2分）
3. 表述混乱：有"QᵀPᵀQPᵀQ"这样的错误表述（扣1分）

得分：1分

题目总分：6+1=7分