评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答的两次识别结果均为“2”，与标准答案“2”一致。题目要求计算向量组$A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$的秩，其中$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关。由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$是线性无关的3维列向量组，它们构成可逆矩阵，因此向量组$A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$的秩等于矩阵$A$的秩。计算矩阵$A$的秩：

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

通过行变换：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

矩阵$A$的秩为2，因此向量组的秩为2。学生答案正确，得4分。

题目总分：4分