评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确应用了链式法则，写出了一阶导数表达式 \(\frac{dy}{dx} = f_1' e^x + f_2' (-\sin x)\)，并在 \(x=0\) 时正确代入得到 \(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = f_1'(1,1)\)。结果与标准答案完全一致，且推导过程清晰。因此得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生在二阶导数计算中，正确对一阶导数表达式再次求导，应用了乘积法则和链式法则，得到： \[ \frac{d^2y}{dx^2} = [f_{11}'' e^x + f_{12}'' (-\sin x)] e^x + f_1' e^x + [f_{21}'' e^x + f_{22}'' (-\sin x)] (-\sin x) + f_2' (-\cos x) \] 代入 \(x=0\) 后得到 \(\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=0} = f_{11}''(1,1) + f_1'(1,1) - f_2'(1,1)\)。虽然表达式中 \(f_{12}''\) 和 \(f_{21}''\) 项在代入后消失（因为 \(\sin 0 = 0\)），且学生正确利用了 \(f\) 具有二阶连续偏导数的条件（即 \(f_{12}'' = f_{21}''\)），最终结果与标准答案一致。但标准答案中显式写出了所有项，而学生答案在代入前表达式完整，代入后结果正确，因此不扣分。得5分。

题目总分：5+5=10分