评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是174，而标准答案是171。本题考察的是幂级数的展开与组合计数。已知 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}\)（当 \(|x|<1\)），因此 \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\right)^3\) 的展开式中 \(x^{20}\) 的系数，等价于求方程 \(a + b + c = 20\) 的正整数解（\(a, b, c \geq 1\)）的个数。这个个数为组合数 \(\binom{20-1}{3-1} = \binom{19}{2} = 171\)。学生答案174与171不符，说明计算错误。由于本题为填空题，答案错误，因此得0分。

题目总分：0分