评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生使用三角代换法计算面积积分，思路正确且过程完整。设 \(x = \tan t\) 后积分限变换正确，积分化简为 \(\int \csc t \, dt\) 并正确应用积分公式，最终结果 \(\ln(1+\sqrt{2})\) 与标准答案一致。虽然第一次识别中积分符号书写有轻微不规范（如 \(dx\) 写成 \(dx\)），但属于可接受的书写变体，不影响逻辑。因此本小题得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出旋转体体积公式 \(V=\pi\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}dx\)，并正确分解分式为 \(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}\)。但在第一次识别结果中，代入上下限时出现逻辑错误：将 \(\left[-\frac{1}{x}-\arctan x\right]\) 误写为 \(\left[\arctan x-\frac{1}{x}\right]\)，导致最终结果错误为 \(\frac{\pi^2}{4}+\pi\)。第二次识别结果虽然过程描述正确，但最终计算结果仍保持错误结果。由于核心计算步骤存在符号错误，扣3分。本小题得3分。

题目总分：6+3=9分