评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：\(-\frac{1}{\tan\left[\arcsin\frac{x - 1}{2}\right]}-\arcsin\frac{x - 1}{2}+C\)

标准答案：\(-\frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{x - 1} - \arcsin\frac{x - 1}{2} + C\)

评分分析：

1. 学生答案的第二项 \(-\arcsin\frac{x - 1}{2}\) 与标准答案完全一致，这部分正确。
2. 学生答案的第一项 \(-\frac{1}{\tan\left[\arcsin\frac{x - 1}{2}\right]}\) 与标准答案的第一项 \(-\frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{x - 1}\) 在形式上不同，但可以通过三角恒等变换证明它们是等价的。
3. 设 \(\theta = \arcsin\frac{x - 1}{2}\)，则 \(\sin\theta = \frac{x - 1}{2}\)，\(\cos\theta = \frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{2}\)
4. 于是 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x - 1}{\sqrt{3 + 2x - x^2}}\)
5. 因此 \(\frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sqrt{3 + 2x - x^2}}{x - 1}\)，学生答案的第一项等价于标准答案的第一项。
6. 虽然表达形式不同，但数学上是完全等价的，思路正确，结果正确。

根据评分原则：思路正确不扣分，对于思路与标准答案不一致但是正确的不扣分。

得分：5分

题目总分：5分