2025年李林冲刺预测6套卷（一） - 第17题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，首先正确识别到当 \( x \to 0 \) 时，\( 1 - e^{5x^2} \sim -5x^2 \)，并写出等价无穷小的极限条件：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a\sin x + bx^2 + \ln(1 - 2x + x^2)}{1 - e^{5x^2}} = 1 \] 然后代入等价无穷小得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{a\sin x + bx^2 + \ln(1 - 2x + x^2)}{-5x^2} = 1 \] 这一步与标准答案一致，思路正确。

接着，学生将极限拆分为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{a\sin x + \ln(1 - 2x + x^2)}{x^2} + b = -5 \] 这等价于标准答案中的 \(\lim_{x \to 0} \frac{a\sin x + \ln(1 - 2x + x^2)}{x^2} = -5 - b\)，逻辑正确。

学生进一步分析分子在 \( x \to 0 \) 时的行为，指出若分子不为 \( o(x) \)，则极限可能不存在或不为有限值，因此要求： \[ \lim_{x \to 0} \frac{a\sin x + \ln(1 - 2x + x^2)}{x} = 0 \] 这一步推理合理，与标准答案思路一致。

随后，学生计算： \[ \lim_{x \to 0} \frac{a\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - 2x + x^2)}{x} = a + \lim_{x \to 0} \frac{\ln((1-x)^2)}{x} \] 利用 \(\ln((1-x)^2) = 2\ln(1-x)\)，并展开 \(\ln(1-x) \sim -x\)，得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{2\ln(1-x)}{x} = -2 \] 因此有 \( a - 2 = 0 \)，解得 \( a = 2 \)。这一部分计算正确，与标准答案结果一致。

最后，学生代入 \( a = 2 \) 求 \( b \)： \[ \lim_{x \to 0...

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