评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，首先正确写出等价无穷小的极限表达式：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a \sin x + b x^2 + \ln(1 - 2x + x^2)}{1 - e^{5x^2}} = 1 \]

并利用 \(1 - e^{5x^2} \sim -5x^2\) 进行代换，得到：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a \sin x + b x^2 + \ln(1 - 2x + x^2)}{-5x^2} = 1 \]

进一步整理为：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a \sin x + \ln(1 - 2x + x^2)}{x^2} + b = -5 \]

这一步与标准答案思路一致，逻辑正确。

接下来，学生通过分析分子在 \(x \to 0\) 时的阶数，得出 \(a \sin x + \ln(1 - 2x + x^2)\) 必须为 \(o(x)\)，否则极限不存在。由此得到：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a \sin x + \ln(1 - 2x + x^2)}{x} = 0 \]

代入 \(\sin x \sim x\)，\(\ln(1 - 2x + x^2) = \ln((1-x)^2) = 2\ln(1-x) \sim -2x\)，解得 \(a = 2\)。

最后，将 \(a = 2\) 代入原极限，利用泰勒展开或洛必达法则计算：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x + \ln(1 - 2x + x^2)}{x^2} = -1 \]

从而得到 \(b = -5 - (-1) = -4\)。

整个过程逻辑清晰，计算正确，与标准答案方法一致。因此，本题得分为10分。

题目总分：10分